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函数概念的发展简史

作者:我是庄稼

高等数学的研究对象是函数,连续函数是最重要的一类函数. 可以说, 高等数学主要就是研究连续函数的各种性质,包括导数、微分和积分等.了解函数概念的发展简史对我们学好高等数学有极大的帮助.

函数概念随着数学的发展而发展,在发展过程中不断地从具体到抽象、 从特殊到一般, 最终也不断得到严谨化和精确化的表达. 从大的方面来说函数概念分为经典函数概念和现代函数概念, 这两种函数概念本质上是相同的, 只是考虑问题的出发点不同. 经典函数概念是从运动变化的观点出发, 而近代函数概念是从集合和映射的观点出发. 具体来说,经典函数概念又大致分为3个阶段: 早期的函数概念(几何函数); 18世纪的函数概念(代数函数)和19世纪的函数概念(变量函数).

早期的函数概念来源于人们迫切需要了解日月星辰的运动规律,特别是,自哥白尼(Kopernik, 1473-1543)根据多年来对日、月、行星运动的观察和推算,在1514年5月完成了《天体运行论》以后,运动就成了那个时期科学家们共同感兴趣的问题. 人们开始思索:地球上下降的物体为什么最终要垂直下落到地球上? 行星运行的轨道为什么是椭圆的? 另外, 由于军事上的需求, 人们需要研究炮弹抛射的路线、射程和所能达到的高度等问题. 这种从运动的研究中就导致了函数概念的最初几何来源.

到了17世纪, 伽俐略(Galileo,1564-1642)在《两门新科学》一书中,已经提出了函数或称为变量关系的概念,但他当时是用文字和比例的语言来表达函数的关系,离真正提出函数的概念还相差很远.直到1673年前后笛卡尔(Descartes,1596-1650)在研究解析几何中,已经注意到一个变量对另一个变量的依赖关系,但此时也尚未意识到要提炼函数的概念.因此直到17世纪后期牛顿和莱布尼兹建立微积分时还没有人明确给出函数的一般意义,那时函数是被当作几何曲线来研究的.

真正明确给出函数概念的是莱布尼兹在1673年首次使用“function” (函数)表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量. 由此可见,函数一词最初的数学含义是相当模糊的,与此同时,牛顿在研究微积分的过程中,使用“流量”来表示变量间的关系.

到了18世纪, 函数概念进入到代数函数阶段,当时占主导地位的观点是,把函数理解为一个解析表达式.瑞士数学家约翰•贝努利(Johann Bernoulli,1667-1748)在1718年对莱布尼兹的函数概念从代数角度重新给出了定义:由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数,这里任何方式包括代数式子和超越式子, 这也是首次强调函数要用式子来表示.

函数符号f(x)由著名的瑞士数学家欧拉(Euler, 1707 -1783)在1724年首次提出使用. 其后, 1748年,欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式. 这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子,统称为函数.不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍和更具有广泛意义.

进一步, 在1755年,欧拉又给出了另一个定义:如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数.

到19世纪时,函数概念的发展已经渐渐完善,进入到变量函数阶段.1821年,法国数学家柯西(Cauchy,1789-1857) 从变量角度给出了函数的定义:在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数就叫做函数.值得注意的是,在柯西的函数定义中,首先出现了自变量一词,但同时他又认为对函数来说不一定要有解析表达式, 或者可以用多个解析式来表示,这显然是一个很大的局限性.

1822年法国数学家傅里叶(Fourier,1768——1830)发现某些函数既可以用曲线表示,也可以用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,他把对函数的认识又推进到了一个新的层次.

  1837年德国数学家狄利克雷(Dirichlet, 1805-1859)打破了这个局限,认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他给出了函数概念的精确化表述:对于在某区间上的每一个x值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数.这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述,特别强调和突出函数概念的本质——对应思想,使之具有更加丰富的内涵, 从而以清晰的方式被所有数学家所接受.这就是人们常说的经典函数定义.

进人20世纪以后,在德国数学家康托(Cantor,1845-1918)创立的集合论基础上,人们对函数概念的认识又有了进一步的深化. 1930年, 美国数学家维布伦(Veblen,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了现代函数的定义,通过集合概念把函数的对应关系、定义域和值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它任何对象.