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反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点与原点三角形面积计算

作者:吉禄学阁

反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点与原点三角形面积计算

主要内容:

本文根据解析几何距离公式、反比例函数性质和三角形面积基本公式等方法,介绍已知反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点为A,B与原点o构成的三角形面积,其面积多种方法计算的主要步骤。

反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点与原点三角形面积计算

主要步骤:

※.交点求解

联立反比例函数与直线方程有:

x(x+1)=3

x^2+x-3=0,

由二次方程的求根公式,有:

x1=-(1+√13)/2,x2=(-1+√13)/2。

则有:x2-x1=√13。

※.解析几何方法

思路:求出函数的交点,根据两点间距离公式和点到直线的距离公式,求解所求三角形的面积。

(1).距离计算

设A(x2,y2),B(x1,y1),由两点间距离同时有:

AB=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]

=√[1^2(x2-x1)^2+(x2-x1)^2]

=√(1+1^2)*|x2-x1|

=√(1+1^2)*√13。

原点到直线y=x+1的距离为:

d=|0-0-1|/√(1+1^2)= 1/√(1+1^2)。

(2).面积计算

所以三角形的面积为:

SOAB=(1/2)*AB*d

=(1/2)*[√(1+1^2)*√13]* 1/√(1+1^2)

=(1/2)*√13。

反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点与原点三角形面积计算

※.反比例函数性质求解

思路:根据反比例函数的几何性质,求解所求三角形的面积。

在反比例函数中,xy=3,其几何意义表示的是三角形OAC的面积,

如下图所示,即:

SOAC=(1/2)*OC*AC

=(1/2)*|x*y|

=3/2平方单位。

反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点与原点三角形面积计算

此时所求三角形OAB的面积可以转化为:

SOAB=SABD-SOAC-SOBE-SOCDE

=SABD-3/2-3/2-SOCDE

=SABD-3-SOCDE

=(1/2)*(|x1|+|x2|)(|y1|+|y2|)-3-|x2*y1|

=(1/2)*(x2-x1)(y2-y1)- 3-|x2*3/x1|

=(1/2)*(x2-x1)^2-3-3*|x2/x1|

=(1/2)*(1^2/1^2)*13-3-3*(-1+1√13)/(1+1√13)

=7/2-3*( √13-1)^2/12

=7/2-(7-√13)/2

=(1/2)*√13平方单位。

反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点与原点三角形面积计算

※.截距式求解:

因为y=1x+1,所以直线与x轴和y轴的交点分别为:

P(-1/1,0),Q(0, 1),

反比例函数xy=3与直线y=x+1的交点与原点三角形面积计算

此时三角形AOB的面积为:

SAOB=SAQO+SBPO+SOPQ

=(1/2)*OQ*x2+(1/2)*OP*|y1|+(1/2)*1*|-1/1|

=(1/2)*(1*x2+|-1/1|*|3/x1|)+1/2

=(1/2)*(1*x2+1/1*|3/x1|)+1/2

=(1/2)*1*(-1+1√13)/2+(1/2)*1/1*3/[(1+1√13)/2]

+1/2

=(1/4)*( 1√13-1)+(3/1)*1/(1√13+1)+ 1/2

=(1/4)*( 1√13-1)+(1√13-1)/4+ 1/2

=(1/2)√13平方单位.

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